Выпускник Военно­-медицинской академии (ВМА) им. С.М. Кирова в Санкт­-Петербурге. С 1994 по 2003 г. – заведующий урологиче­ским отделением, доцент кафедры урологии ВМА. С 2003 г. является профессором кафедры урологии и хирургической андроло­гии Российской медицинской академии непрерывного профессионального образования, с 2013 г. возглавляет отделение урологии ГКБ им. С.П. Боткина. Обладет наибольшим в РФ опытом хирургического лече­ния рака предстательной железы с использованием всех хирургических доступов (суммарно бо­лее 2000 позадилонных, промежност­ных и более 1000 робот-ассистированных радикальных простатэктомий). Регулярно принимает учас­тие в российских и международных съездах и симпозиумах, выступает в качестве приглашенного лектора и хирурга-­эксперта в школах по различ­ным аспектам урологии как в нашей стране, так и за рубежом.

Доктор медицинский наук, профессор кафедры урологи и хирургической андрологии РМАНПО, член редколлегий журналов «Урология» и «Онкоурология». Под руководством Велиева Е.И. защищены 14 кандидатских работ.

Автор более 350 научных трудов, 10 патентов на изобретения и полезные модели. Велиев Е.И. является одним из первопроходцев в области лечения рака предстательной железы в РФ. Помимо этого, известен достижениями в выявлении и хирургическом лечении опухолей почки и мочевого пузыря, в круг профессиональной и научной деятельности входят также реконструктивно-пластические вмешательства, в том числе робот-ассистированные реконструктивные операции.

Президиум Российского общества урологов, правление Российского Общества Онкоурологов, European Association of Urology, American Urological Association.